Je suis enfin venu à bout de la NL20 (je ne sais plus exactement quand j’ai commencé mais ça doit bien faire 2 mois). Aux dernières nouvelles j’affichais un fier 11bb/100 de winrate, je finis à un très moyen 5bb/100 (mon tracker fait des caprices donc pas de courbe à vous poster). J’ai pas très bien run sur la fin mais j’ai surtout pas très bien joué, plus dans l’optique de boucler les 30 kh que de jouer correctement. Et ça, quel que soit votre edge vous pouvez être sûrs que ce n’est jamais une bonne idée.
M’enfin c’est pas bien grave, me voici maintenant autorisé par moi-même à attaquer la NL30. Je ne pense pas jouer ou très peu avant l’année prochaine, je vais faire un petit break, mater quelques vidéos histoire de se remettre dans le bain avant de réattaquer.
Ca c’était pour la partie je raconte ma vie, maintenant je vais aborder le vrai sujet du billet d’aujourd’hui. Les moins bouchés d’entre vous auront déjà deviné vu le titre du billet, je vais m’intéresser au bingo. Si vous ne connaissez pas, le principe est expliqué ici. Grosso modo vous avez 50 mains pour réussir à compléter une grille de 14 cartes avec les mains qui vous sont distribuées. Petite astuce qui change tout, si on vous distribue une carte que vous avez déjà complétée, la carte est annulée. Rien de bien sorcier ni même de stratégique là-dedans vous allez me dire. Oui et non. La subtilité de la chose c’est que dans sa grande générosité, winamax vous permet de repartir d’une grille vierge quand vous le désirez.
Je ne sais pas pour vous mais personnellement, avec 8 tables j’avoue que je ne me préoccupe pas trop de la chose, j’ai bien vibré quelques fois quand j’ai entendu la corne de brume retentir sur mes tables (signifiant que je n’étais plus qu’à 2 encablures de toucher le jackpot) mais jusqu’à présent je n’ai jamais eu la chance d’en toucher un (en même temps si je jouais un peu plus …)
Parce que j’aime bien les maths, aller au bout des choses en règle générale (#perverslachezvous) et que je me fais franchement chier au boulot je vais vous exposer les maths du jeu, histoire de comprendre comment ça marche. A partir de là j’aurai les outils nécessaires pour savoir quand il faut théoriquement repartir d’une nouvelle grille au lieu de continuer sur celle déjà entamée. Partez pas tout de suite, y aura des images !
A partir d’une situation donnée, la prochaine main qui vous est distribuée aura pour conséquence (hors cas extrêmes) de cocher/décocher de 0 à 2 cartes. Je vais prendre la notation suivante dans la suite :
T(n,p)=Proba(cocher p cartes sur un tirage sachant qu’on en a déjà coché n).
p prends les valeurs entières de -2 à 2, n de 0 à 13 puisque le jeu s’arrête à 14 cartes. Par exemple, T(3,1) sera la proba lors de la prochaine distribution de mains de cocher une case de plus en partant d’une grille avec 3 cases déjà cochées.
Je ne vais pas tout expliquer mais commençons par déterminer T(n,0). Pour qu’un tirage ne change pas la situation il y a plusieurs situations :
-
Aucune des 2 cartes distribuée n’est dans la grille. En terme de proba ça donne (1-14/52) * (1-14/51)
-
Une des 2 cartes distribuée est dans la grille non cochée proba (14-n)/52, la deuxième est dans la grille déjà cochée proba (n/51). On multiplie par 2 pour tenir compte de la symétrie de la situation ce qui donne 2n * (14-n)/(5251)
Globalement, T(n,0) = (1 - 14 / 52) * (1 - 14 / 51) + 2 * n * (14 - n) / (52 * 51)
En tenant le même type de raisonnement pour les autres valeurs de p, on obtient :
T(n,-2) = n * (n - 1) / (52 * 51)
T(n,-1) = 2 * (1 - 14 / 52) * n / 51
T(n,1) = 2 * (1 - 14 / 52) * (14 - n) / 51
T(n,2) = (14 - n) * (13 - n) / (52 * 51)
Vous êtes arrivés jusqu’ici, bravo vous méritez quelques images ! (en abscisse le nombre de cartes déjà cochées, en ordonnée la proba associée):
*T(n,-2)
T(n,-1)
T(n,0)
T(n,1)
T(n,2)*
Comme le monde est bien fait vous aurez remarqué la symétrie de la chose, choupinou non ? Ensuite comme le service marketing de wina est diabolique, vous n’aurez pas manqué de noter que moins vous avez de cartes cochées sur votre grille, plus vous avez de chance d’en cocher une.
C’est une fois que votre grille se complète que les choses se corsent puisque la tendance s’inverse totalement à partir de 8 cartes cochées (à 7 on a autant de chance d’en cocher que d’en décocher).
C’est bien gentil tout ça mais concrètement faut chatter beaucoup pour toucher un bingo ? Hum, pas mal quand même oui. Je ne vais pas détailler sauf si on me le réclame à corps et à cris mais c’est assez facile de sortir le tableau de probas complet pour 50 tirages, il suffit d’utiliser les formules qu’on a obtenues au-dessus et de bricoler 2 boucles imbriquées dans le langage de programmation qui vous amuse (j’ai fait ça en vba excel).
Quand on fait tourner notre gentille macro, on obtient le tableau de proba complet suivant:
*Proba d’avoir coché x cartes au bout du nème tirage sans changer de grille
En ligne le numéro du tirage, en colonne le nombre de cases cochées dans la grille, à la croisée des chemins la proba correspondante. Par exemple après le 24ème tirage, la proba d’avoir 4 cartes cochées est de 12.68%. Fort de ce tableau, on calcule les espérances associées à chaque tirage (vous pouvez dire moyenne aussi), ce qui nous permet de tracer le joli graphique des moyennes de chaque tirage :
Nombre moyen de cartes cochées au bout de n tirages sans changer de grille
Tout ça pour dire qu’au bout de 50 tirages, vous aurez en moyenne coché un peu moins de 7 cartes sur les 14 nécessaires pour décrocher la timbale. C’est peu hein ? Si vous regardez la proba d’en avoir coché 14 au bout de 50 tirages ça ne va pas vous rendre plus optimiste puisqu’elle vaut moins de 0.04% (tout en bas à droite du tableau).
C’est bien gentil tout ça mais ça ne nous dit pas combien de mains il faudra jouer pour raisonnablement espérer toucher un bingo. Ben si, enfin pas en lecture directe mais comme vous êtes un peu familier de ces calculs, en tout cas vous devriez l’être au moins un minimum si vous vous intéressez sérieusement au poker …
Bref, pour calculer la proba de toucher un bingo au bout de n grilles, il faut passer par la proba de ne pas en toucher (1-p)^n. Ca donne :
P(faire bingo avec n grilles jouées)= 1 – (1-p)^n
Là encore ça permet de tracer une jolie courbe :
Proba de compléter un grille au bout de n grilles jouées
Quelques valeurs pour rigoler. On dépasse les 50% de chance de toucher un bingo à partir de 1 935 grilles jouées soit 96 750 mains, pour atteindre les 75% de chance c’est 3 869 grilles qu’il faudra consciencieusement cocher soit 193 450 mains, on est à 95% pour 8 362 grilles soit 418 100 mains. Bien évidemment, aucun nombre de mains jouées ne peut vous garantir de toucher un bingo un jour, comme vous pouvez faire partie des 1% de veinards qui toucheront le jackpot en 1 400 mains.
Ceci étant dit, on peut améliorer la chose en utilisant la possibilité qui nous est offerte de repartir sur une grille vierge à tout moment. Sans trop se creuser les méninges on peut déjà faire mieux que laisser tourner bêtement en repartant sur une nouvelle grille lorsqu’on n’a plus aucune chance de toucher le bingo, par exemple lorsqu’il ne reste qu’un tirage et qu’on n’a plus de 2 coches restantes sur la grille.
Pour voir l’effet de ce changement de stratégie, j’ai simulé 10 000 bingos (i.e. jouer autant de mains que nécessaire à toucher un bingo 10 000 fois) sans jamais changer de grille avant la fin et en changeant de grille lorsqu’on n’ a plus aucune chance de faire bingo. Graphiquement parlant ça donne ça :
[alig=center]
En bleu la méthode sans changement, en rouge changement quand la situation est désespérée[/align]
Empiriquement, la comparaison pour les probas de 50, 75 et 95% donnent ça :
102 000 vs 84 000 mains pour 50%
203 000 vs 166 000 mains pour 75 %
416 000 vs 362 000 mains pour 95%
C’est mieux mais on peut faire encore mieux ! Il suffit de se poser la question à chaque nouveau tirage de la vitesse à laquelle on va toucher bingo en moyenne à partir de cette situation et de la comparer à la vitesse en repartant de 0. Là encore je ne vous détaille pas comment on fait (il faut résoudre 1-(1-p)^n grosso modo, y a du logarithme népérien dedans) rien de vraiment sorcier si vous avez un peu de culture mathématique. La stratégie qui en découle est la suivante :
En ligne le nombre de tirage restant, en colonne le nombre de cartes cochées
Concrètement, s’il vous reste 49 tirages et que vous n’avez pas coché au moins une carte, vous mettrez en moyenne moins de temps à toucher bingo en repartant de 0, s’il vous reste 30 tirages et que vous n’avez pas au moins coché 6 cartes mieux vaut repartir de 0, …
Une simulation sur 10 000 bingos donne ça :
En bleu méthode brute (sans changement de grille), en rouge méthode brute améliorée (changement de grille sans aucun espoir), en vert méthode smart (changement de grille dès que c’est plus rapide statistiquement)
La comparaison pour les probas de 50, 75 et 95% donnent ça :
102 000 vs 84 000 vs 80 000 mains pour 50%
203 000 vs 166 000 vs 158 000 mains pour 75 %
416 000 vs 362 000 vs 315 000 mains pour 95%
Bref, on n’est passé d’une situation initiale où pour être assuré à 95% de toucher un bingo il fallait jouer 418 100 mains à une situation où pour le même résultat il ne faut en jouer « que » 315 000 empiriquement.
Bien entendu, cela sous-entend de générer des nouvelles grilles très fréquemment, si vous multi tablez pas mal je ne suis pas certain que vous gardiez le rythme longtemps.
Ceux qui ont tenu jusque-là me feront peut être remarqué que c’est bien beau tout ça mais le gain qu’on touche dépend aussi du nombre de mains jouées. Bien observé mais je pense qu’en fait ce n’est pas le cas ou très peu. En effet la formule vous qui donne le prix est du type a * racine carrée (b * miles/(N-1)).
Le nombre de miles est proportionnel au rake payé jusque-là, le rake payé étant proportionnel au nombre mains jouées on se retrouve avec une formule du type a * racine ( b’ * N/(N-1)). Bref, que vous touchiez le bingo au bout de 10 mains ou au bout de 40 ne changera pas grand-chose en terme de gain.
L’autre subtilité est le booster, 2 cartes qui une fois cochée ne peuvent plus être décochées mais qui multiplient votre gain par 10 si vous avez la chance de toucher un bingo. Là par contre ça change tout évidemment. Pour simplifier on va dire que si vous pouvez potentiellement le toucher, il ne faut pas réinitialiser la grille sauf cas désespéré.
C’est tout pour aujourd’hui, si vous ne pensiez pas déjà que je suis à moitié cinglé ça doit être le cas maintenant. Portez-vous bien et à la prochaine 
